勾股定理·典型例题

　

能力素质

　

例1　 如图3.16－1，已知：∠ABD＝∠C＝90°，AC＝BC，∠DAB＝30°，AD＝8，求BC的长．

解析　 先在Rt△ABD中，求出AB，继而在Rt△ACB中求出BC．

解　 Rt△ABD中，

∵∠ABD＝90°，∠DAB＝30°，

由勾股定理知：

AB2＝AD2－BD2＝82－42＝48．

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．

∵AC2＋BC2＝AB2，

∴2BC2＝48，

∴BC2＝24，

例2　 直角三角形斜边长为2，两直角边和为6，求此直角三角形面积．

解　 设直角边为a、b，

∴a2＋b2＝4．

　

点击思维

　

例3　 如图3.16－2，沿AE折叠长方形，使D落在BC边上的点F处，已知： AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

解析　 因△ADE与△AFE重合，所以△ADE≌△AFE，于是AF＝AD＝BC＝10cm，EF＝DE．

可求得BF、FC的长．

由EF＋EC＝DC，

可利用EF2＝EC2＋FC2，

列方程求解．

解　 由题意知：△ADE≌△AFE，

∴AF＝AD＝BC＝10cm， EF＝DE．

∴BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62

∴BF＝6(cm)．

∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．

设EC＝xcm，则EF＝(8－x)cm．

在△EFC中，∠C＝90°，

∴FC2＋EC2＝EF2．

∴42＋x2＝(8－x)2．

∴x＝3cm．

即EC＝3(cm)．

点评　 当已知直角三角形关于边长的两个条件时，可利用勾股定理列方程求解．

例4　 已知直角三角形的两边长为3、4，求另一边长．

解析　 两边长为3、4，分两类

(1)3、4是直角边长；

(2)4是斜边长．

例5　 如图3.16－3，已知：∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．

解　 延长AD、BC交于E．

∵∠A＝60°，∠B＝90°，

∴∠E＝30°．

∴AE＝2AB＝8，CE＝2CD＝4，

∴BE2＝AE2－AB2＝82－42＝48．

DE2＝CE2－CD2＝42－22＝12．

∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE

点评　 不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为两个三角形面积之差．

　

学科渗透

　

例6　 如图3.16－4中，已知△ABC中，AB＝AC，D为BC上的任一点．求证：AD2＋BD·DC＝AB2．

解析　 证明线段的平方问题，应充分运用勾股定理和代数公式，因此需要构造直角三角形，故作BC边上的高AE．

证明　 过A点作AE⊥BC于E．

∵AB＝AC，

∴BE＝EC．

又∵AE⊥BC，

∴AB2＝AE2＋BE2，

AD2＝AE2＋ED2．

∴AB2－AD2＝BE2－ED2

＝(BE＋ED)(BE－ED)(平方差公式)

＝(EC＋ED)(BE－ED)

＝CD·BD．

∴AD2＋BD·DC＝AB2．

变式　 若D在BC的延长线上，求证：AB2＋BD·DC＝AD2．(同学们自行练习)

解　 如图3.16－5：

中考巡礼

　

例8　 (2000广东中考题)在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把Rt△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合．如果AC＝4cm，那么AB＝________

解　 由题意知：AC＝BC，

又AC2＋BC2＝AB2，

∴AB2＝42＋42＝32．

考点　 勾股定理．