勾股定理在数域扩展上的贡献

──无理数的诞生

　　在早期的数学家看来，有理数对应点充满了整个数轴，人们也确信无疑．

　　早期希腊人发现，在数轴上存在不与任何有理数对应的点．毕达哥拉斯学派发现，没有任何有理数能与下图数轴上的P点对应．这一发现在人们的心理上引起了极大震惊，被誉为数学史上的又一个里程碑．

　　后来，又发现数轴还有许多点，也不对应任何有理数．因此，必须发明一种新的数，使之与这些点相对应，于是，无理数便诞生了．

　　

　　 　

等于1的正公因子)的整数，于是

　　即： P²=2Q².

　　因为p²等于一个整数的2倍，所以p²必为偶数．p²是偶数的充分必要条件是P为偶数，设P=2r，这时上面最后一个等式变成

4r²=2Q²

　　即

2r²=Q²

　　由此可知Q²是偶数，从而Q也是偶数．这是不可能的，因为已经假设P和Q是互素

　　

公元前约425